“有一位老师对他的学生说：所谓的考试，尤其是应试考试这种玩意儿，最重要的就是懂得战略放弃啊！把自己会做的题目先做对了，再来解决那些一时无法解决的问题。”
西莫先生已经想不起来，当初到底是哪个白痴和自己说过这个“笑话”了。
没错就是笑话，因为那个老师的学生接下来的回答是：“老师如果全都不会做，我能战略放弃这门考试吗？”
哈哈哈，好不好笑？好不好笑？
拿着只有四道题目的卷子，已经准备放弃三道的西莫先生现在简直笑得比哭还难看啊！
如果说第一问只是开胃小菜的话，那么第二题开始，西莫先生就就深深地感受到来自数学的恶意。
第二问：
在一场比赛上，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。
当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。
问题：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？如果增加，增加的几率是多少？（本题25分）
这一题西莫先生第一眼看去觉得是会增加几率，因为从独立重复实验的角度来看，第一次三道门，选中的概率是三分之一；第二次两道门，选中的概率是二分之一；
如果将两次选择看成是一个整体的话，选中的概率暨三分之一乘以二分之一得到六分之一。
咦？看起来好像很简单啊，但是总觉得有哪里不对，西莫先生知道自己的答案肯定是错误的，但是他根本不知道错在哪里，或者说他连题目都至看懂了一半。
犹豫再三之后，就像几分钟前面对第一题一样，西莫先生又一次选择了战略放弃。
接下来第三问：
奥地利裔布列塔尼亚著名数学家库尔特·哥德尔，在1931年提出不完备性定理。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。该定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。
哥德尔通过这一定理证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。
更简单一点的解释是：（1）任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。（2）如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
问题：请联系自己的生活，找出符合哥德尔不完备性定理的一个例子。（本题25分，没错，你没看错25分，这是老师我给你们发的福利。）
“谁来告诉这个老头“简单”和“福利”的含义是什么啊！”看着那方方正正地印刷体字迹，西莫先生暴跳如雷，当然他知道恼火的人肯定不止自己一个。
这TM叫“简单”一点的解释？“福利”是这样用的吗？你逗我啊？恶意卖萌禁止啊！
一阶谓词逻辑？初等数论？无矛盾性？
这些是什么？可以吃吗？
西莫先生已经快要被数学给虐哭了！他真的好想要向高坂死妹控求救啊！救救他的数学！
但是在犹豫了几秒之后，西莫先生还是忍住了。
虽然以前学校考试的时候，西莫先生都是靠作弊或者炸死监考老师来过关的，但是好不容易下定决心要好好努力一把，他怎么可能就这样放弃！
还有两题，最起码要能做出一道啊！要不然自己都不好意思向死妹控开口！
因为西莫觉得自己实在都不起那个人！尤其是在自己刚放完嘴炮以后！
第四问：
如有图，边长为a的立方体层周期性排列，在正方体的各个顶点以及中心处分布着原子的结晶构造，我们称之为体心立方结构，钠元素和钾元素等大多数碱性金属都由这种结构构成。
在体心立方结构中有一个原子AO，设空间内所有的点中，距离AO最近的原子们所包围而成的空间为DO。
问题：求DO的体积是多少？
啊嘞？
西莫先生差点就叫出声来，并不是因为题目有多难，与前面的几道题相比，这道题未免太容易了一点，当然也不是因为容易，才让西莫先生觉得惊讶。
而是因为，西莫总觉得自己好像在哪里看过这道题啊？
“为什么突然好想吃章鱼烧呢？”
西莫先生一边沉吟着一边落趣÷阁如飞：
每个原子A对应的空间D组成了全空间，而各个原子的地位又是相同的，所以每个原子对应的空间的大小，就是单位体积内原子个数的倒数。
在每个立方体中，有一个体心原子和八个顶点原子。但每个顶点原子分属于八个立方体，所以每个顶点原子实际上只算1/8个。
于是，平均算下来，在这么大的空间内有2个原子，故每个原子对应的空间大小为二分之a的三次方！
突然之间西莫先生觉得自己的思路就像是被打开了。
第三问：在国际象棋中，你永远无法在规则下让王逃到某一个最安全的位置！
第二问：当参赛者转向另一扇门而不是维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。
在已知一扇门是山羊的情况下，有三种可能的情况︰
（1）参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
（2）参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
（3）参赛者挑汽车，主持人挑羊一号。转换将失败”和“参赛者挑汽车，主持人挑羊二号。转换将失败。”
其中第三种情况，其失败的可能性为(1/3)*(1/2)+(1/3)*(1/2)=(1/3)，也就是说，如果转换，那么参赛者将会有(2/3)的概率赢得汽车！
写完这一句后，有些头昏脑涨的西莫先生深吸一口气，接下来，只剩下最后一题了！(未完待续。)